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Quel plan d'expériences choisir avec CORICO ?


Cinq critères

Voici cinq critères de choix d’un plan d’expériences « définitif » (ne nécessitant pas d’être complété par un autre plan d'expériences) :

  • (1) : minimiser le nombre d’essais (s’ils sont coûteux ou demandent du temps),
  • (2) : assurer un nombre de niveaux suffisant adapté à chaque facteur (pour connaître les effets non linéaires, et bien explorer le domaine expérimental),
  • (3) : éviter les confusions entre facteurs et interactions.
  • (4) : tenir compte de tous les facteurs potentiellement influents (sinon, l’on risque d’avoir expérimenté pour rien).
  • (5) : pouvoir tenir compte d’éventuels facteurs qualitatifs.

On pense souvent que les critères (1) et (2) sont contradictoires ; ce n’est pas forcément le cas. De plus, le critère (2) favorise le critère (3).

Exemple

Choix entre 4 plans d'expériences

Supposons que le processus étudié implique 6 facteurs potentiellement influents. Comparons quatre plans d’expériences sur leurs deux premières colonnes :

  • En BLEU, le plan complet à 2 facteurs à 2 niveaux, plus un point au centre, ne contient que 5 essais. Mais pour 6 facteurs potentiellement influents, il en faudrait 65, ce qui est prohibitif : le critère (4) n’est pas respecté par ce plan.

  • En NOIR un plan de Jones et Nachtsheim 2011 (dit « definitive screening ») contient seulement 13 essais pour 6 facteurs à 3 niveaux. C’est très économique. Le seul inconvénient est que ce type de plan ne peut avoir que 3 niveaux.

  • En VERT un plan Corico Quali, un peu plus couteux (16 essais pour 6 facteurs dont 3 avec 4 niveaux, et 3 avec3 niveaux). En revanche il donne plus de souplesse puisque le choix du nombre de niveaux est libre pour chaque facteur. Il convient aussi bien pour les facteurs qualitatifs que pour les facteurs continus.

  • En ROUGE, un plan Corico Quanti, moins coûteux que le plan vert, et à peine plus coûteux que le plan noir, il couvre mieux l’intérieur du domaine expérimental (plan uniforme dont les points sont équidistants dans l’espace à 6 dimensions des facteurs). Ce plan convient bien pour les facteurs continus. Il peut être mixé avec le plan Corico Quali.

Qu’en est-il du critère de choix (3) : y-a-t-il des confusions entre facteurs et interactions ? Voici la matrice de corrélations du plan complet à 2 facteurs à 2 niveaux, plus un point au centre :

Corrélation plan complet

En rouge les corrélations égales à 1 (confusion, ou « alias » de facteurs).

Il est normal que les éléments de la diagonale soient rouges (corrélation d’un facteur avec lui-même).

En revanche les effets carrés A*A et B*B sont confondus. Il ne sera donc pas possible, avec le plan complet ci-dessus, de connaître les effets de courbure quadratique. Ce serait possible avec un plan complet à 3 niveaux, mais pour 6 facteurs il exige 216 essais !

Comparons maintenant les matrices de corrélation entre facteurs et interaction y compris quadratique des trois autres plans :

Choix entre 3 plans d'expériences

Les trois plans ne sont pas orthogonaux (pas entièrement bleu foncé) mais n’ont pas de confusion (pas de rouge hors la diagonale). Il y a peu de fortes corrélations. La non-orthogonalité n’est pas en soi un inconvénient dès lors que l’on analyse les résultats par régression multiple.

Le plan Corico Quanti n’accepte pas les facteurs qualitatifs, mais il est possible de le mixer avec un plan Corico Quali (pour le même nombre d'essais que ce dernier).

Plan de criblage

Les « plans de criblage » sont ainsi nommés car ils permettent de « cribler » un grand nombre de facteurs en un nombre minime d’essais.

Par exemple, les plans à deux niveaux Plackett-Burman sont très économiques, et, si leur nombre d’essais n’est pas une puissance de 2, ils permettent l’étude des interactions de 2 facteurs.

Par contre ils ne permettent pas l’étude des effets quadratiques, puisque ceux-ci sont des constantes quand il n’y a que deux niveaux (-1 et 1).

Il faut donc les compléter par un « plan de surface de réponse » comportant des niveaux intermédiaires pour lever les confusions sur les termes carrés.

Plan de criblage définitif

Les « plans de criblage définitifs » au contraire ne nécessitent pas d’être complétés par un autre plan, tout en restant très économiques.

Jones et Nachtsheim (2011) sont les premiers auteurs à avoir employé l’expression « plan de criblage définitif », mais il existait déjà de tels plans auparavant (par exemple les matrices de Starks, 1964). Les trois plans ci-dessus sont des plans de criblage définitif.

Conclusion : aide au choix du plan

Les plans de criblages définitifs sont économiques et permettent l’étude des interactions et effets carrés.

Voici un résumé pour 6 facteurs. Le choix dépendra du nombre d’essais et de la plus ou moins grande couverture du domaine expérimental (nombre de niveaux) qu’on accepte ou souhaite réaliser :

Choix entre plans d'expériences

A noter qu’augmenter le nombre de niveaux n’est pas forcément coûteux.

Augmenter le nombre de facteurs induit une croissance raisonnable du nombre d’essais (croissance à peu près linéaire).

Au contraire, les plans suivants, sauf le premier, sont plus coûteux en nombre d'essais, donc peu recommandés pour le criblage, mais utiles lorsqu’on a peu de facteurs, ou des essais peu coûteux :

Choix entre plans d'expériences classiques

Pour assurer la réussite de votre plan d'expériences

En plus des facteurs contrôlables (ici 6 dans nos exemples), n’oubliez pas de mesurer parallèlement les facteurs non contrôlables mais mesurables, susceptible d’influencer la réponse, afin d’en tenir compte lors de l’analyse avec CORICO. Vous obtiendrez ainsi des modèles plus réalistes et plus fiables.


Voir aussi :

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