Chinois

Analyse d’un plan d’expériences « de Surface de Réponse » par la méthode CORICO


Le logiciel CORICO n’est pas seulement un générateur de plan d’expériences, c'est aussi un outil d’analyse, convivial et rapide, applicable aussi bien à un plan généré par lui-même que par un autre logiciel.

la méthode des surfaces de réponses vise à trouver les relations entre les variables dépendantes et indépendantes impliquées dans une expérience. Le plus souvent on utilise un modèle à polynôme de second degré. La méthode CORICO permet d’aller plus loin , en intégrant aux modèles des « interactions logiques », pour une prédiction plus robuste et proche de la réalité.

L'objectif est de déterminer plus vite l'optimum de la réponse (la ou les variables dépendantes).

Illustrons cela à partir de données disponibles sur Internet (Thèse François Rabier).

Le problème

On cherche à améliorer la connaissance du comportement d’un module IGBT (transistor) utilisé en traction ferroviaire. On souhaite pour cela établir les modèles :

  • de la surtension V,
  • de la vitesse de commutation dV/dt.

3 facteurs sont liés aux conditions de fonctionnement :

  • La tension commutée U,
  • Le courant commuté I,
  • La température de fonctionnement T°C.

3 facteurs sont liés aux paramètres de conception :

  • L’inductance de boucle Lcom due à la connectique entre la capacité et le module IGBT,
  • La résistance Rgoff présente sur l’allumeur.
  • Le temps ton pendant lequel l’IGBT est passant avant son second blocage.

Le plan d’expériences de surface de réponse

Plan d'expériences optimal

Les bornes maximum et minimum de chacun des facteurs sont choisies pour éviter la casse du composant durant l’expérimentation. Un algorithme d’échange selon le critère de G-Efficacité est utilisé par l’auteur de la thèse pour construire un plan d’expériences « de surface de réponse » comportant 37 essais.

Ce plan est dit "plan de surface de réponse", car les facteurs ont plus de deux niveaux, ce qui permet d'apréhender les effets non linéaires.

Les essais à -40°C et 42°C ont été réalisés en étuve, les essais à 125°C sur plaque chauffante. Car les allumeurs des étuves ne résistent pas dans une atmosphère supérieure à 70°C.

Pour distinguer, lors de l’analyse des résultats, l’influence éventuelle du type de chauffage de celle de la température proprement dite, nous rajoutons la variable qualitative « étuve », qui vaut 1 si on utilise l’étuve, et 0 si on utilise la plaque chauffante.

Iconographie des corrélations

Reprenons l’analyse, au moyen du logiciel CORICO. « L’iconographie des corrélations » est un moyen rapide de connaître les effets des 6 facteurs.

Conviviale et complète, cette représentation multidimensionnelle, nous dispense du tracé de beaucoup de graphes bidimensionnels tels que droite de Daniel (parfois laissés à l’appréciation subjective de l’utilisateur), diagrammes en bâton de Length, ou graphes des Effets (qui parfois peuvent faire croire à la présence d’interactions inexistantes).

Elle donne le résultat suivant, où un trait plein représente une corrélations remarquables positive, et un trait pointillé indique une corrélation remarquables négative. Les réponses sont en rouge :

Iconographie des corrélations

Les résultats essentiels du plan de surface de réponse, débarrassés des « fausses bonnes corrélations », apparaissent sur cette figure unique :

  1. La température T° ou le type de chauffage "étuve" n’ont pas d’effet remarquable sur les réponses.
  2. La surtension (V) augmente si l’on augmente la tension U, le courant I ou l’inductance Lcom.
  3. La vitesse de commutation (dV/dt)
    • Augmente avec la tension U,
    • Diminue si le temps ton augmente, ou si la résistance Rgoff augmente.

Sur la figure, « U-Rgoff » est la soustraction entre deux variables préalablement centrées-réduites, afin d’éviter des considérations d’unité de mesure. C’est la seule « interaction » qui a été trouvée remarquable.

Modèles de régression multiple non postulés de CORICO

Modèle de régression linéaire multiple

Ces modèles ne sont pas postulés à priori : c'est l'algorithme de CORICO qui détermine les termes du modèle par ordre décroissant d’importance, chacun expliquant le résidu non expliqué par les précédents.

Les coefficients R2 ajustés, Q2 et F sont considérés comme excellents. SEP est l’erreur standard de prédiction.

Les modèles de type CORICO (avec « interactions logiques » sont plus parcimonieux que les modèles polynomiaux classiques, c’est-à-dire que les termes du modèle (régresseurs) sont moins nombreux (il n’y a ici que 11 coefficients, y compris la constante).

En outre, les modèles avec « interactions logiques » peuvent s'ajuster à des surfaces de réponses beaucoup plus variées et "tourmentées".

Les premiers termes des modèles (les plus importants) confirment les résultats de l’iconographie des corrélations ci-dessus. Le temps ton et la température T° n’interviennent que pour expliquer le résidu de Vitesse de saturation non expliqué par U-Rgoff.

Surface de réponse Vitesse de Commutation

Nous pouvons tracer la surface de réponse de la vitesse de commutation, en fonction de U et de Rgoff, les autres paramètres étant fixés à une valeur moyenne. Ajustement des modèles

Graphes d’adéquation des modèles par rapport aux mesures

Les points se répartissent bien sur la diagonale. Les modèles retenus modélisent donc correctement les réponses trouvées lors des expériences du plan de surface de réponse :

Essais de validation des modèles

Pour valider entièrement les modèles, l’auteur de la thèse, F. Rabier, a effectué de nouvelles expérimentations en des points non testés par le plan de surface de réponse. La table suivante présente les points de validation, les valeurs mesurées des réponses et les valeurs calculées d’après les modèles de Rabier et de CORICO :

Tableau des essais de validation

Graphes d’adéquation complétés avec les essais de validation

En noir les points qui ont servi à élaborer les modèles et, en rouge (CORICO) et vert (Rabier), les essais de validation :

Ajustement des modèles avec essais de validation

Lorsqu’on ne voit pas un point rouge c’est qu’il est exactement sous le point vert.

Les points rouges et verts se rangent sur la diagonale : tous les modèles sont validés ! Cependant les modèles CORICO n'ont besoin que de 11 coefficients, contre respectivement 20 et 17 pour les modèles polynomiaux utilisés dans la thèse. De plus, les interactions logiques ont un sens physique. Aussi dans bien des cas, les modèles avec interaction logiques collent de plus près à la réalité et sont plus prédictifs à l’usage.

Résidus

L’adéquation du modèle de régression linéaire multiple repose sur l’hypothèse que les erreurs de prédictions (les résidus) sont distribuées aléatoirement (hypothèse d'homoscédasticité).

Les graphes ci-dessous montrent la répartition aléatoire des résidus :

Résidus des modèles

Ces modèles permettent de prédire de façon conviviale et rapide les valeurs de surtension et de vitesse de commutation en fonction de l’ensemble des paramètres influents et de leurs variations connues. On peut ainsi mieux définir l’aire de sécurité des modules IGBT dans leurs conditions réelles d’utilisation.

Voir la page générale plan d’expériences avec CORICO.

Voir aussi : Questions fréquentes.

D'autres exemples d'analyse de données avec CORICO :

Vous êtes enseignant : contactez-nous pour connaître les conditions spéciales qui vous permettront d'équiper votre classe, votre laboratoire, votre école ou votre université.

Devis gratuit - Plans d'expériences économiques

Didacticiel logiciel corico

Formation logiciel corico

Demo logiciel corico

Economisez des années en Recherche et Développement : INDUSTRIE - RECHERCHE - QUALITÉ - ÉPIDÉMIOLOGIE - ENQUÊTES - ECONOMETRIE ...