Décomposition fine des séries temporelles avec CORICO

Décomposition du trafic autoroutier

Une série temporelle : le trafic autoroutier en France durant 230 mois de la fin du XX ème siècle :

Voici le modèle obtenu par CORICO, et son résidu :

Ce modèle est la somme de trois composantes :

Muni de ce modèle, il est possible de prédire l'évolution ultérieure du trafic.

Voici le détail du motif périodique sur deux années successives. Il reflète les périodes de pointes et les creux de trafic. Il n'y aurait aucun intérêt, pour la compréhension physique, de le décomposer lui-même en une somme de sinusoïdes.

Une avancée majeure dans la décomposition et la prévision des séries temporelles.

Par rapport aux méthodes classiques (telles que moyennes mobiles, processus gaussiens, ARMA, ARIMA, Markov ou Box-Jenkins, calcul différentiel, analyse de Fourrier, dispersion de phase, ondelettes, spline, EMD...), la méthode CORICO, simple dans son emploi et précise dans ses résultats, bien adaptée à la prévision, permet un calcul rigoureux même lorsque la cadence d'échantillonnage n'est pas régulière.

L'approche classique des séries chronologiques consiste à décomposer la série temporelle en une tendance,une composante saisonnière et une composante aléatoire. Mais la réalité est souvent plus complexe : plusieurs tendances et plusieurs saisonnalités se combinent presque toujours!

Voyons les forces et les faiblesses des différentes approches.

La méthode CORICO, au contraire, à la fois descriptive et prédictive, ne repose sur aucune hypothèse, si ce n'est sur l'idée que le futur ressemble parfois au passé. L’une des forces du logiciel CORICO repose sur la distinction automatique des événements exceptionnels d’avec ceux susceptibles de se reproduire.

CORICO décèle et démêle dans les séries temporelles les interférences de divers cycles et saisonnalités avec des ruptures de tendances en " marches d'escaliers ", en " V ", des " ruptures logistiques ", des motifs périodiques, et des événements accidentels tels que des pics isolés ou des " morceaux d'ondes ". Le logiciel détecte aussi les variations au cours du temps de l’amplitude d’une oscillation.

Muni d'une prévision fiable, vous pouvez appuyer vos décisions et procéder à des corrections.

Dans la figure ci-dessus, CORICO a détecté 8 composantes de la série temporelle Ha, à savoir 5 composantes sinusoïdales, et 3 motifs périodiques non sinusoïdaux (16490~~t, 9890~~t, 16400~~t). ModelHa, qui est la reconstitution de la série au moyen de ces 8 composantes, permet la prévision en fonction du temps t.

Un autre série temporelle : le trafic aérien

L’exemple du trafic aérien international est souvent cité pour comparer des logiciels de séries temporelles :

Le nombre de passagers augmente régulièrement. Là-dessus se superpose une variation cyclique annuelle. Ces variations à l'intérieur d'une même année sont de plus en plus fortes.

Une moyenne mobile d’ordre 12 (c’est à dire sur les 12 points précédents et suivants) permet de lisser les données en filtrant les cycles annuels, mais elle induit un effet de bord à droite et à gauche de la courbe, où elle ne peut être calculée :

Une autre méthode, le lissage exponentiel simple, qui est une moyenne pondérée sur les valeurs passées, n’a pas d’effet de bord, il exige cependant le choix subjectif d’un paramètre béta, fixant l’influence plus ou moins grande du passé. Ci-dessous, béta = 0.9 :

Ce lissage est optimal pour des séries temporelles sans tendances ni saisonnalité. On peut l’améliorer avec le lissage exponentiel double ou, mieux, avec le lissage exponentiel triple ou de Holt-Winters. Ce dernier requiert de fixer a priori trois paramètres, dont la période attendue de la saisonnalité.

Outre le choix toujours subjectif des paramètres, cette méthode ne permet pas de décomposer une série comportant plusieurs cycles et plusieurs tendances superposés.

Nous allons donc utiliser une autre méthode, plus simple, plus précise et plus générale, puisqu’elle ne requiert aucun paramètre et permet la décomposition complète de la série temporelle.

Le modèle de régression non postulé, trouvé par le logiciel CORICO, est le suivant :

Le sens des noms des prédicteurs de cette équation de régression, propre au logiciel, sera mieux compris graphiquement :

Le tableau ci-dessous donne le détail des coefficients, les périodes en mois, et les points atypiques.

Comme les prédicteurs sont classés par ordre d’importance décroissante, on voit tout de suite, d’après les coefficients, que les trois premiers prédicteurs expliquent presque toute la variabilité.

A titre indicatif, le logiciel fournit aussi ci-dessous le tableau d’analyse des coefficients et le tableau d’analyse de variance.

Les graphes ci-dessous représentent, à gauche le modèle des Passagers en fonction des Passagers, et à droite les résidus correspondants. C’est un bruit aléatoire totalement sans structure (« bruit blanc ») :

Le graphe ci-dessous montre, par rapport à l’amplitude du premier prédicteur (la tendance, en rouge), les amplitudes relatives du deuxième prédicteur (en bleu, de période annuelle), du troisième prédicteur (en vert, de période semestrielle), et enfin du résidu.

Ainsi l’interprétation est simple avec le logiciel CORICO : Il n’est pas besoin d’examiner un autocorrélogramme ou un périodogramme. Le calcul est d’autant plus précis qu’il n’est pas fondé sur des moyennes mobiles (en effet le choix de l’ordre de la moyenne mobile est toujours délicat : des saisonnalités parasites peuvent apparaître).

Muni de ce modèle nous pouvons calculer une prédiction du trafic, par exemple pour les 3 années suivantes (au-delà du trait bleu) :

Prise en compte d’influences diverses

L’analyse d’une série temporelle sera meilleure si l’on tient compte des événements qui ont pu influencer la série (changements législatifs ou économiques, accidents majeurs, grèves, données climatiques, etc.)

Exemple : le nombre de décès par accident tous les mois sur les routes d’Angleterre, de janvier 1975 à décembre 1984, présente l’allure suivante :

En janvier 1983, le port de la ceinture a été rendu obligatoire pour les automobilistes anglais (Seat Belt Law). Deux cas sont possibles :

Echantillonnage irrégulier dans le temps

Les séries chronologiques d’échantillonnage irrégulier se rencontrent dans de nombreux domaines industriels et scientifiques :

L’approche courante consiste à transformer l’échantillonnage irrégulier des données en observations également espacées, par interpolation - le plus souvent linéaire - puis d'appliquer les méthodes classiques. Malheureusement la transformation des données introduit des biais difficiles à quantifier, surtout si l'écartement des observations est très irrégulier.

Au contraire, CORICO permet d’analyser une série inégalement espacée dans le temps sous sa forme non modifiée, évitant ainsi les biais d’interpolation lors du calcul du modèle.

Le modèle une fois connu, on en déduit les valeurs non échantillonnées.

Champ d'application des séries temporelles

Les séries temporelles ou séries chronologiques, c’est-`a-dire les collections de mesures ordonnées dans le temps, sont présentes un peu partout. Leur analyse est requise dans de nombreuses sciences et techniques, généralement pour comprendre une évolution passée et pour prévoir un comportement futur. La prévision consiste à estimer une observation future à partir de la connaissance historique.

En l’absence de recherche de variables explicatives, l’accent est mis sur les séries univariées. Dans le cas contraire, par exemple en économie et finance, les dépendances entre séries peuvent faciliter des décisions d’arbitrage. Il convient alors de considérer des séries multivariées .

On trouve des exemples de séries chronologiques univariées dans de très nombreux domaines :